问题 2019A08

依赖于

• 例 2.8
• 例 3.8

被以下题目直接调用

• 无

问题 2019A08

(1) 请用摄动法和初等变换法证明: n 阶上三角阵 A 的伴随阵 $A^{\ast }$ 也是上三角阵.

(2) 请用高代教材的习题 3.4.7 证明高代教材的命题 3.5.1. (3) 请用形式行向量和相抵标准型理论证明高代教材的引理 3.5.1.

解答

(1) 先设上三角阵 A 是非异阵, 利用初等行变换可求出 $A^{-1}$ :

$$(\mathbf{A}\mid {\mathbf{I}}_n)=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_1& \dots & \ast & 1& & \\ & \ddots & ⋮& & \ddots & \\ & & a_n& & & 1\end{array}\right)\to ({\mathbf{I}}_n\mid {\mathbf{A}}^{-1})=\left(\begin{array}{cccccc}1& & & a_1^{-1}& \dots & \ast \\ & \ddots & & & \ddots & ⋮\\ & & 1& & & a_n^{-1}\end{array}\right),$$

于是

$${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{\prod }_{i\ne 1}{a}_i& \dots & \ast \\ & \ddots & ⋮\\ & & {\prod }_{i\ne n}{a}_i\end{array}\right)$$

也是上三角阵. 对一般的上三角阵 A, 存在一列有理数 $t_k\to 0$, 使得 $A+t_k{I}_n$ 均为非异上三角阵, 于是由前面的讨论可得

$$(\mathbf{A}+t_k{\mathbf{I}}_n{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{\prod }_{i\ne 1}(a_i+t_k)& \dots & \ast \\ & \ddots & ⋮\\ & & {\prod }_{i\ne n}(a_i+t_k)\end{array}\right).$$

上式两边矩阵的元素都是关于 $t_k$ 的多项式, 从而关于 $t_k$ 连续, 令 $t_k\to 0$ 可得

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{\prod }_{i\ne 1}{a}_i& \dots & \ast \\ & \ddots & ⋮\\ & & {\prod }_{i\ne n}{a}_i\end{array}\right)$$

也是上三角阵. 本小题的直接证法可参考例 2.8.

(2) 设 $S=\{{\alpha }_1\ne 0,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\}$ 由 n 个向量组成, 我们利用逐步扩张的办法来构造 S 的极大无关组 B. 首先将非零向量 ${\alpha }_1$ 加入向量组 B 中, 此时 $B=\{{\alpha }_1\}$ 中向量线性无关. 由例 3.8 可知, ${\alpha }_2$ 或者与 B 中向量线性无关, 或者是 B 中向量的线性组合. 若 ${\alpha }_2$ 与 B 中向量线性无关, 则加入向量组 B 中, 此时 $B=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$ 中向量线性无关; 若 ${\alpha }_2$ 是 B 中向量的线性组合, 则不对向量组 B 做任何添加. 依次这样考虑 ${\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_n$ , 最后可得线性无关向量组 B, 且 S 中任一向量都是 B 中向量的线性组合, 即 B 是 S 的极大无关组. (3) 设 $A=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\}$， $B=\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s\}$，A 中任一向量都是 B 中向量的线性组合，并且 $r>s$，我们来证明：A 中向量线性相关。将 A, B 中向量都写成形式行向量，则可得

$$\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r\right)=\left({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_s\right)\mathbf{M},\text{\hspace{1em}(1.12.1)}$$

其中 M 是一个 $s\times r$ 矩阵. 设 P 为 s 阶非异阵, Q 为 r 阶非异阵, 使得 $PMQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_k& O\\ O& O\end{array}\right)$ , 其中 $k\le \min \{s,r\}<r$ . 令 $e_r=(0,\cdots ,0,1{)}^{\prime }$ , 则 $\gamma =Q{e}_r=(c_1,c_2,\cdots ,c_r{)}^{\prime }$ 为 r 维非零列向量, 且 $PM\gamma =PMQ{e}_r=0$ , 从而 $M\gamma =0$ . 在 (1.12.1) 式两边同时右乘 $\gamma$ , 可得

$$({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r)\mathbf{\gamma }=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s)M\mathbf{\gamma }=0,$$

即有 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_r{\alpha }_r=0$，因此 A 中向量线性相关.