例 2.8

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 6.7
• 例 6.17
• 例 6.18

例 2.8

求证：上（下）三角阵的加减、数乘、乘积（幂）、多项式、伴随和求逆仍然是上（下）三角阵，并且所得上（下）三角阵的主对角元是原上（下）三角阵对应主对角元的加减、数乘、乘积（幂）、多项式、伴随和求逆。

解答

证明 只证上三角阵的情形，下三角阵的情形完全类似。上三角阵的加减、数乘、乘积（幂）以及多项式结论的证明比较简单，留给读者完成，下面来证明伴随和求逆的结论。设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶上三角阵，即满足 $a_{ij}=0(\forall i>j)$。取定 $i<j$，设 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}=|b_{kl}|$，代数余子式 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，则有

$$b_{kl}=\{\begin{array}{ll}{a}_{kl},& \text{当 }k\le i-1\text{ 且 }l\le j-1\text{ 时};\\ a_{k,l+1},& \text{当 }k\le i-1\text{ 且 }l\ge j\text{ 时};\\ a_{k+1,l},& \text{当 }k\ge i\text{ 且 }l\le j-1\text{ 时};\\ a_{k+1,l+1},& \text{当 }k\ge i\text{ 且 }l\ge j\text{ 时}.\end{array}$$

若 $k>l$，则在情况 $(1),(3),(4)$ 中有 $b_{kl}=0$，并且情况 $(2)$ 不可能发生，因为此时有 $i>k>l\ge j$，这与 $i<j$ 矛盾。因此，$A_{ij}$ 是一个上三角行列式。进一步，若 $i<j$，则在情况 $(3)$ 中，在闭区间 $[i,j-1]$ 里一定可以取到 $k=l$，此时 $b_{kk}=a_{k+1,k}=0$，即 $A_{ij}$ 的主对角元中至少有一个为零，从而 $A_{ij}=0(\forall i<j)$ 成立。若 $i=j$，则由情况 $(1,4)$ 可知， $b_{kk}(1\le k\le n-1)$ 可取到 $a_{11},\dots ,a_{i-1,i-1},a_{i+1,i+1},\dots ,a_{nn}$，由此可知

$$A_{ii}=a_{11}\cdots a_{i-1,i-1}{a}_{i+1,i+1}\cdots a_{nn}.$$

这个数称为 $a_{ii}$ 的伴随，这就完成了 $A^{\ast }$ 结论的证明。由于 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$，故 $A^{-1}$ 也是上三角阵，其主对角元为 $\frac{1}{|A|}{A}_{ii}=a_{ii}^{-1}$，结论得证。$\square$