例 1.43

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 问题 2017A02
• 问题 2018A03

例 1.43

如果 $n$ 阶行列式 $|A|$ 的元素满足 $a_{ij}=-a_{ji}(1\le i,j\le n)$，则称为反对称行列式。求证：奇数阶反对称行列式的值等于零。

解答

证明 由于 $|A|$ 的主对角元全为 $0$，故由组合定义，只需考虑下列单项：

$$T=\{a_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}\mid k_i\ne i(1\le i\le n)\}.$$

定义映射 $\phi :T⟶T$，

$$a_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}⟼a_{1k_1}{a}_{2k_2}\cdots a_{n{k}_n}.$$

显然 ${\phi }^2={\mathrm{Id}}_T$，于是 $\phi$ 是一个双射。我们断言：

$$a_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}\text{和}{a}_{1k_1}{a}_{2k_2}\cdots a_{n{k}_n}$$

作为 $|A|$ 的单项不相同，否则 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 必可分成若干对 $(i_1,j_1),\cdots ,(i_l,j_l)$，使得

a_{k_1 1}a_{k_2 2}\cdots a_{k_n n} =a_{i_1j_1}a_{j_1i_1}\cdots a_{i_lj_l}a_{j_li_l}, \

这与 $n$ 为奇数矛盾。将上述两个单项看成一组，则它们在 $|A|$ 中符号均为

$$(-1{)}^{N(k_1,k_2,\cdots ,k_n)}.$$

由于 $|A|$ 反对称，故

$$\begin{array}{rl}{a}_{1k_1}{a}_{2k_2}\cdots a_{n{k}_n}& =(-1{)}^n{a}_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n}\\ & =-a_{k_{1}1}{a}_{k_{2}2}\cdots a_{k_{n}n},\end{array}$$

从而每组和为 $0$，于是 $|A|=0$。如直接利用行列式的性质，也可以这样来证明： 由反对称行列式的定义可知，$|A|$ 的转置 $|A^{\prime }|$ 与 $|A|$ 的每个元素都相差一个符号， 将 $|A^{\prime }|$ 的每一行都提出公因子 $-1$ 可得 $|A|=|A^{\prime }|=(-1{)}^n|A|=-|A|$，从而 $|A|=0$。$\square$