问题 2017A02

依赖于

• 例 1.43

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017A02

设 $|A|$ 为 n 阶行列式, 其中 n 为奇数, 且 $|A|$ 的所有元素都是整数. 证明: 若对任意的 $1\le i\le n$ , $a_{ii}$ 都是偶数, 且对任意的 $1\le i<j\le n$ , $a_{ij}+a_{ji}$ 都是偶数, 则 $|A|$ 也是偶数.

解答

设整数行列式 $|A|=|a_{ij}|$，将 $|A|$ 的某个元素加上 2 的整数倍，其余元素保持不变，这种操作称为加 2 变换''。例如，将 $a_{11}$ 变为 $a_{11} + 2m$，其中 m 为整数， $|A|$ 的其余元素保持不变，得到的新行列式记为 $|B|$。将 $|B|$ 的第一行拆分为 $(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}) + (2m, 0, \cdots, 0)$，则由拆分法可得 $|B| = |A| + 2mA_{11}$，于是加 2 变换得到的行列式 $|B|$ 与原行列式 $|A|$ 保持相同的奇偶性。回到本题的证明。由于 $|A|$ 的主对角元 $a_{ii}$ 都为偶数，故可利用加 2 变换将 $a_{ii}$ 都变成 0；又 $|A|$ 关于主对角线的对称点都满足 $a_{ij} + a_{ji}$ 为偶数，故 $a_{ji}$ 与 $-a_{ij}$ 有相同奇偶性，于是可利用加 2 变换将 $a_{ji}$ 都变成 $-a_{ij}$；最后得到的行列式记为 $|B|$。根据上述操作可知 $|B|$ 为奇数阶反对称阵，由[[例 1.43]] 可得 $|B| = 0$，又 $|A|$ 与 $|B|$ 有相同的奇偶性，于是 $|A|$ 必为偶数。熟悉有限域 $F_{2} = Z/2Z = \{\overline{0}, \overline{1}\}$ 的读者，也可以用模 2 同余”的方法来证明本题，具体细节可参考教学论文 [9]。当然，直接利用例 1.43 的证明过程来讨论也可以。