问题 2018A03

依赖于

• 例 1.22
• 例 1.43

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• 无

问题 2018A03

设 $A=(a_{ij})$ 为 n 阶方阵, b 为常数, 方阵 $B=(a_{ij}+b)$ , 即 B 的每个元素都是 A 中对应元素加上 b.

(1) 证明: A 的所有代数余子式之和等于 B 的所有代数余子式之和; (2) 进一步假设 A 是偶数阶反对称阵, 证明: $|A|=|B|$ .

解答

(1) 若 $b=0$ , 则 $A=B$ , 结论显然成立. 下设 $b\ne 0$ , 沿用例 1.22 的记号并由其结论可知,

$$|\mathbf{B}|=|\mathbf{A}(b)|=|\mathbf{A}|+b\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij},|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}(-b)|=|\mathbf{B}|-b\sum _{i,j=1}^n{B}_{ij},$$

其中 $A_{ij},B_{ij}$ 分别是 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的代数余子式, 由上述两式即得 ${\sum }_{i,j=1}^n{A}_{ij}={\sum }_{i,j=1}^n{B}_{ij}$ .

(2) 由例 1.22 可知 $|\mathbf{B}|=|\mathbf{A}(b)|=|\mathbf{A}|+b{\sum }_{i,j=1}^n{A}_{ij}$. 由于 $\mathbf{A}$ 是偶数阶反对称阵, 故 $A_{ii}$ 是奇数阶反对称行列式, 由例 1.43 可知 $A_{ii}=0(1\le i\le n)$ . 对任意的 $1\le i<j\le n$ , $A_{ij}$ 的第 $(k,l)$ 元素是 $A_{ji}$ 的第 $(l,k)$ 元素的相反数, 故 $A_{ij}=(-1{)}^{n-1}{A}_{ji}=-A_{ji}$ . 于是 ${\sum }_{i,j=1}^n{A}_{ij}={\sum }_{i=1}^n{A}_{ii}+{\sum }_{1\le i<j\le n}(A_{ij}+A_{ji})=0$, 从而 $|\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|$ .