问题 2019S11

依赖于

• 例 9.5
• 第 3 章解答题 2

被以下题目直接调用

• 问题 2017S14

问题 2019S11

设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是 n 个互异的正实数, t 为正实数, n 阶方阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ , 其中 $a_{ij}=(a_i+a_j{)}^{-t}$ , 证明: A 为正定阵.

解答

设 $V=C[0,+\infty )$ 为 $[0,+\infty )$ 区间上连续函数全体构成的实线性空间，对任意的 $f(x),g(x)\in V$，定义

$$(f(x),g(x))=\frac{{\int }_0^{+\infty }f(x)g(x)x^{t-1}\mathrm{d}x}{{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{t-1}\mathrm{d}x}.$$

容易验证上述 $(-,-)$ 满足对称性, 第一变量的线性以及正定性, 故 $(-,-)$ 成为 V 上的内积, V 成为欧氏空间. 由第 3 章解答题 2 可知, $e^{-a_{1}x},e^{-a_{2}x},\cdots ,e^{-a_{n}x}$ 是 V 中 n 个线性无关的向量. 设 $g_{ij}=({\mathrm{e}}^{-a_{i}x},{\mathrm{e}}^{-a_{j}x})$ , 则由例 9.5 可知, 它们的 Gram 矩阵 $\mathbf{G}=(g_{ij})$ 必为正定实对称阵. 经如下计算, 其中第二步是用 $u=(a_i+a_j)x$ 进行变量代换, 可得:

$$g_{ij}=\frac{{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-(a_i+a_j)x}{x}^{t-1}\mathrm{d}x}{{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{t-1}\mathrm{d}x}=\frac{(a_i+a_j{)}^{-t}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u}{u}^{t-1}\mathrm{d}u}{{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{t-1}\mathrm{d}x}=(a_i+a_j{)}^{-t},$$

于是结论得证.