第 3 章解答题 2

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 问题 2019S11

第 3 章解答题 2

设 $V$ 是实数域上连续函数空间，$a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是 $n$ 个不同的实数，求证：$e^{a_{1}x},e^{a_{2}x},\cdots ,e^{a_{n}x}$ 线性无关。

解答

设 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 为 $n$ 个实数，使得

$$k_1{e}^{a_{1}x}+k_2{e}^{a_{2}x}+\cdots +k_n{e}^{a_{n}x}=0.$$

对上式求导 $i$ 次并令 $x=0$，可得

$$a_1^i{k}_1+a_2^i{k}_2+\cdots +a_n^i{k}_n=0(i=0,1,\cdots ,n-1).$$

上述 $n$ 个方程构成了关于 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 的线性方程组，其系数行列式是关于 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的 Vandermonde 行列式。由于 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 互不相同，故系数行列式不等于零，从而方程组只有零解 $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$，于是 $e^{a_{1}x},e^{a_{2}x},\cdots ,e^{a_{n}x}$ 线性无关。