问题 2016S19

依赖于

• 问题 2016S17
• 例 9.53

被以下题目直接调用

• 无

问题 2016S19

设 n 阶实对称阵 A, B 的特征值分别为 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n,{\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_n,C=A+B$ 的特征值为 ${\nu }_1\le {\nu }_2\le \cdots \le {\nu }_n$，证明：

$${\lambda }_j+{\mu }_1\le {\nu }_j\le {\lambda }_j+{\mu }_n(j=1,2,\dots ,n).$$

特别地，

$$\left|{\nu }_j-{\lambda }_j\right|\le \Vert \mathbf{B}{\Vert }_2:=\max \left\{\left|{\mu }_1\right|,\left|{\mu }_n\right|\right\}.$$

注本题的结论称为 “Weyl 摄动定理”.

解答

由 (1.5.4) 式可知, ${\lambda }_j={\max }_{0\ne x\in U_j}\frac{x^{\prime }Ax}{x^{\prime }x}$ , 其中 $U_j$ 是 $R^n$ 的某个 j 维子空间. 由 问题 2016S17 的结论可得:

$$\begin{array}{l}{\nu }_j={\min }_{V_j}{\max }_{0\ne \mathbf{x}\in V_j}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{C}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\le {\max }_{0\ne \mathbf{x}\in U_j}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\\ \le {\max }_{0\ne \mathbf{x}\in U_j}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}+{\max }_{0\ne \mathbf{x}\in U_j}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{B}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\le {\lambda }_j+{\max }_{0\ne \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{B}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}={\lambda }_j+{\mu }_n.\end{array}$$

由 (1.5.4) 式可知, ${\lambda }_j={\min }_{0\ne x\in U_{j-1}^{\perp }}\frac{x^{\prime }Ax}{x^{\prime }x}$, 其中 $U_{j-1}^{\perp }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的某个 $n-j+1$ 维子空间. 由 问题 2016S17 的结论可得:

$$\begin{array}{l}{\nu }_j={\max }_{V_{n-j+1}}{\min }_{0\ne \mathbf{x}\in V_{n-j+1}}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{C}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\ge {\min }_{0\ne \mathbf{x}\in U_{j-1}^{\perp }}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\\ \ge {\min }_{0\ne \mathbf{x}\in U_{j-1}^{\perp }}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}+{\min }_{0\ne \mathbf{x}\in U_{j-1}^{\perp }}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{B}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\ge {\lambda }_j+{\min }_{0\ne \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{B}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}={\lambda }_j+{\mu }_1.\end{array}$$

由上述两个不等式即得 $\left|{\nu }_j-{\lambda }_j\right|\le {\Vert B\Vert }_2:=\max \left\{\left|{\mu }_1\right|,\left|{\mu }_n\right|\right\}$.

注本题是例 9.53 的推广.