问题 2016S17

依赖于

• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 问题 2016S18
• 问题 2016S19

问题 2016S17

设 A 为 n 阶实对称阵, 其特征值为 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$ , 证明:

$${\lambda }_i=\underset{V_i}{\min }\underset{0\ne \mathbf{x}\in V_i}{\max }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}=\underset{V_{n-i+1}}{\max }\underset{0\ne \mathbf{x}\in V_{n-i+1}}{\min }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}(i=1,2,\dots ,n),$$

其中 $V_j$ 表示 $R^n$ 的 j 维子空间.

注本题的结论称为 极小极大定理'' 或 Courant-Fischer 定理”.

解答

设 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 是 A 的对应于特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 的标准正交的特征向量。记 $U_j=L(e_1,\cdots ,e_j)\subseteq {\mathbb{R}}^n$。显然， $R^n$ 的任一 i 维子空间 $V_i$ 与 $U_{i-1}^{\perp }=L(e_i,\cdots ,e_n)$ 的交空间非零。任取非零向量 $x\in V_i\cap U_{i-1}^{\perp }$，可设 $x={\sum }_{j=i}^n{x}_j{e}_j$，则 $x_i,\cdots ,x_n$ 不全为零且 $\frac{x^{\prime }Ax}{x^{\prime }x}=\frac{{\sum }_{j=i}^n{\lambda }_j{x}_j^2}{{\sum }_{j=i}^n{x}_j^2}\ge {\lambda }_i$。由于上式对 $R^n$ 的任一 i 维子空间 $V_i$ 均成立，故

$$\underset{V_i}{\min }\underset{0\ne \mathbf{x}\in V_i}{\max }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\ge {\lambda }_i.\text{\hspace{1em}(1.5.2)}$$

另一方面, 取 $V_i=U_i$ , 则对任一非零向量 $x\in U_i$ , 可设 $x={\sum }_{j=1}^i{x}_j{e}_j$ , 则 $x_1,\cdots ,x_i$ 不全

为零且 $\frac{x^{\prime }Ax}{x^{\prime }x}=\frac{{\sum }_{j=1}^i{\lambda }_j{x}_j^2}{{\sum }_{j=1}^i{x}_j^2}\le {\lambda }_i$, 并且当 $x=e_i$ 时可取到等号. 因此

$$\underset{V_i}{\min }\underset{0\ne \mathbf{x}\in V_i}{\max }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}\le \underset{0\ne \mathbf{x}\in U_i}{\max }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}={\lambda }_i.\text{\hspace{1em}(1.5.3)}$$

综合 (1.5.2) 式和 (1.5.3) 式即得结论中的第一个等式. 第二个等式的证明是类似的. 特别地, 由 (1.5.3) 式及类似的证明可知, 存在 ${\mathbb{R}}^n$ 的 $i$ 维子空间 $U_i$ 以及 $n-i+1$ 维子空间 $U_{i-1}^{\perp }$ , 使得

$${\lambda }_i=\underset{0\ne \mathbf{x}\in U_i}{\max }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}=\underset{0\ne \mathbf{x}\in U_{i-1}^{\perp }}{\min }\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}(i=1,2,\dots ,n).\text{\hspace{1em}(1.5.4)}$$

注本题是例 9.52 的推广.