例 9.90

依赖于

• 例 9.87
• 例 9.89
• 例 9.86

被以下题目直接调用

• 例 9.99

例 9.90

设 $A$ 是 $n$ 阶实正规矩阵，求证：存在正交矩阵 $P$，使得

$$P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{A_1,\cdots ,A_r,c_{2r+1},\cdots ,c_n\},$$

其中

$$A_i=\left(\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ -b_i& a_i\end{array}\right)(1\le i\le r)$$

是二阶实矩阵，$c_j(2r+1\le j\le n)$ 是实数。

解答

证明 由例 9.87，$A$ 正交相似于例 9.87 中的分块上三角矩阵，再反复用例 9.89 的结论可知这是个 分块对角矩阵。又因为每一块都是正规矩阵，故或是二阶正规矩阵 $A_i$，或是实数 $c_j$（一阶矩阵）。 对于二阶正规矩阵的情形，由例 9.86 的证明过程可知，若设 $A_i$ 的特征值为 $a_i+b_{i}i$， 对应的特征向量为 $u+vi$，令

$$P_i=\left(\frac{u}{\Vert u\Vert },\frac{v}{\Vert v\Vert }\right),$$

则 $P_i$ 为二阶正交矩阵，且

$$P_i^{\prime }{A}_i{P}_i=\left(\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ -b_i& a_i\end{array}\right).$$

$\square$