例 9.9

依赖于

• 例 8.63
• 例 8.71

被以下题目直接调用

• 无

例 9.9

设 $A$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：对任意的 $n$ 维实列向量 $x,y$，有

$$(x^{\prime }Ay{)}^2\le (x^{\prime }Ax)(y^{\prime }Ay).$$

解答

证法 1 由例 8.63 可知，对任意正实数 $t$，$A+t{I}_n$ 都是正定阵，这决定了 $n$ 维列向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个内积，故由 Cauchy-Schwarz 不等式可得

$$(x^{\prime }(A+t{I}_n)y{)}^2\le (x^{\prime }(A+t{I}_n)x\left)\right(y^{\prime }(A+t{I}_n)y).$$

注意到上式两边都是关于 $t$ 的连续函数，同时取极限，令 $t\to 0+$，即得结论。

证法 2 由于 $A$ 半正定，故存在实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }C$。考虑 $n$ 维列向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准内积，由 Cauchy-Schwarz 不等式可得

$$(x^{\prime }Ay{)}^2=(Cx,Cy{)}^2\le \Vert Cx{\Vert }^2\Vert Cy{\Vert }^2=(x^{\prime }Ax)(y^{\prime }Ay).$$

证法 3 因为 $A$ 是半正定阵，故对任意的实数 $t$，有

$$(x^{\prime }Ax)t^2+2(x^{\prime }Ay)t+(y^{\prime }Ay)=(tx+y{)}^{\prime }A(tx+y)\ge 0.$$

若 $x^{\prime }Ax=0$，则由例 8.71 可知 $Ax=0$，从而 $x^{\prime }Ay=(Ax{)}^{\prime }y=0$，于是结论成立。 若 $x^{\prime }Ax\ne 0$，则上述关于 $t$ 的二次方程恒大于等于零当且仅当其判别式小于等于零， 由此即得要证的结论。$\square$