例 9.76

依赖于

• 例 9.75

被以下题目直接调用

• 例 9.80
• 例 9.81
• 第 9 章解答题 15
• 第 9 章解答题 16

例 9.76

设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵。求证：

$$|A+B|\ge |A|+|B|,$$

等号成立的充要条件是 $n=1$ 或当 $n\ge 2$ 时，$B=O$。

解答

证明 由例 9.75 可知，存在可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }AC=I_n,C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}.$$

因为 $B$ 半正定，故 $C^{\prime }BC$ 也半正定，从而 ${\lambda }_i\ge 0$。注意到

$$\begin{array}{rl}|C^{\prime }||A+B||C|& =|C^{\prime }AC+C^{\prime }BC|=(1+{\lambda }_1)(1+{\lambda }_2)\cdots (1+{\lambda }_n)\\ & \ge 1+{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|C^{\prime }AC|+|C^{\prime }BC|=|C^{\prime }|(|A|+|B|)|C|,\end{array}$$

故有 $|A+B|\ge |A|+|B|$，等号成立当且仅当 $n=1$ 或当 $n\ge 2$ 时，所有的 ${\lambda }_i=0$，这也当且仅当 $n=1$ 或当 $n\ge 2$ 时，$B=O$。$\square$