例 9.75

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• 例 9.76
• 例 9.77
• 例 9.78
• 例 9.79
• 例 9.80
• 第 9 章解答题 14

例 9.75

设 $A$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是同阶实对称矩阵，求证：必存在可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }AC=I_n,C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},\text{\hspace{1em}(9.11)}$$

其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A^{-1}B$ 的特征值。

解答

证明 因为 $A$ 正定，故存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{\prime }AP=I_n$。由于 $P^{\prime }BP$ 仍为实对称矩阵，故存在正交矩阵 $Q$，使得

$$Q^{\prime }(P^{\prime }BP)Q=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}.$$

令 $C=PQ$，则 $C$ 满足 (9.11) 式的要求。注意到

$$C^{\prime }(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\{\lambda -{\lambda }_1,\lambda -{\lambda }_2,\cdots ,\lambda -{\lambda }_n\},$$

故 ${\lambda }_i$ 是多项式 $|\lambda A-B|$ 的根，又 $A$ 可逆，所以也是 $|\lambda I_n-A^{-1}B|$ 的根，即为 $A^{-1}B$ 的特征值。$\square$