例 9.78

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• 例 9.75

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• 无

例 9.78

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶正定实对称矩阵，满足 $A\ge B$，求证： $B^{-1}\ge A^{-1}$。

解答

证明 由例 9.75 可知，存在可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }AC=I_n,C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}.$$

因为 $B$ 正定，故 $C^{\prime }BC$ 也正定，从而 ${\lambda }_i>0$。一方面，我们有

$$C^{\prime }(A-B)C=\mathrm{diag}\{1-{\lambda }_1,1-{\lambda }_2,\cdots ,1-{\lambda }_n\},$$

因为 $A-B$ 半正定，故 ${\lambda }_i\le 1$，从而 ${\lambda }_i^{-1}\ge 1$。另一方面，我们有

$$C^{-1}{A}^{-1}(C^{\prime }{)}^{-1}=I_n,C^{-1}{B}^{-1}(C^{\prime }{)}^{-1}=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1}\},$$

于是

$$C^{-1}(B^{-1}-A^{-1})(C^{-1}{)}^{\prime }=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1^{-1}-1,{\lambda }_2^{-1}-1,\cdots ,{\lambda }_n^{-1}-1\}$$

为半正定阵，因此 $B^{-1}-A^{-1}$ 也是半正定阵。$\square$