第 9 章解答题 14

依赖于

• 例 9.75

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 14

设 $A,B$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

$$\frac{2^{n+1}}{|A+B|}\le \frac{1}{|A|}+\frac{1}{|B|},$$

且等号成立的充要条件是 $A=B$。

解答

注意到问题的条件和结论在同时合同变换 $A\mapsto C^{\prime }AC,B\mapsto C^{\prime }BC$ 下不变，故由例 9.75 不妨从一开始就假设 $A=I_n$，$B=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，其中 ${\lambda }_i>0$。由基本不等式可得

$$\begin{array}{rl}|A+B|\left(\frac{1}{|A|}+\frac{1}{|B|}\right)& =\prod _{i=1}^n(1+{\lambda }_i)\left(1+\frac{1}{{\lambda }_1\cdots {\lambda }_n}\right)\\ & \ge 2^n\prod _{i=1}^n\sqrt{{\lambda }_i}\cdot \frac{2}{\sqrt{{\lambda }_1\cdots {\lambda }_n}}\\ & =2^{n+1},\end{array}$$

等号成立当且仅当所有的 ${\lambda }_i=1$，即当且仅当 $A=B$。