例 9.42

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.39
• 例 9.43
• 例 9.44

例 9.42

设 $u,v$ 是欧氏空间中两个长度相等的不同向量，求证：必存在镜像变换 $\phi$，使得 $\phi (u)=v$。

解答

证明 令

$$e=\frac{u-v}{\Vert u-v\Vert },$$

定义 $\phi$ 如下：

$$\phi (x)=x-2(e,x)e,$$

则 $\phi$ 是镜像变换，注意 $(u,u)=(v,v)$，我们有

$$\Vert u-v{\Vert }^2=(u-v,u-v)=(u,u)+(v,v)-2(u,v)=2(u,u)-2(u,v)=2(u,u-v).$$

于是

$$\phi (u)=u-2(e,u)e=u-2\left(\frac{u-v}{\Vert u-v\Vert },u\right)\frac{u-v}{\Vert u-v\Vert }=u-2\frac{(u,u-v)}{\Vert u-v{\Vert }^2}(u-v)=v.$$

$\square$