例 9.29

依赖于

• 第 2 章解答题 15

被以下题目直接调用

• 例 9.30
• 第 9 章填空题 17
• 第 9 章解答题 7

例 9.29

设 $V$ 是由 $n$ 阶实矩阵全体构成的欧氏空间（取 Frobenius 内积），$V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为 $\phi (A)=PAQ$，其中 $P,Q\in V$。

(1) 求 $\phi$ 的伴随 ${\phi }^{\ast }$；

(2) 若 $P,Q$ 都是可逆矩阵，求证：$\phi$ 是正交算子的充要条件是 $P^{\prime }P=c{I}_n,Q{Q}^{\prime }=c^{-1}{I}_n$，其中 $c$ 是正实数；

(3) 若 $P,Q$ 都是可逆矩阵，求证：$\phi$ 是自伴随算子的充要条件是 $P^{\prime }=\pm P,Q^{\prime }=\pm Q$；

(4) 若 $P,Q$ 都是可逆矩阵，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 $P,Q$ 都是正规矩阵。

解答

解 (1) 对任意的 $A,B\in V$，由迹的交换性可得

$$(\phi (A),B)=\mathrm{tr}(PAQ{B}^{\prime })=\mathrm{tr}(AQ{B}^{\prime }P)=\mathrm{tr}(A(P^{\prime }B{Q}^{\prime }{)}^{\prime })=(A,P^{\prime }B{Q}^{\prime }).$$

定义 $V$ 上的线性变换 $\psi$ 为 $\psi (B)=P^{\prime }B{Q}^{\prime }$，则上式即为 $(\phi (A),B)=(A,\psi (B))$，由伴随的唯一性即得 ${\phi }^{\ast }=\psi$。

(2) 若 $\phi$ 是正交算子，即 ${\phi }^{\ast }\phi =I_V$，则由 (1) 可知， $P^{\prime }PAQ{Q}^{\prime }=A$ 对任意的 $A\in V$ 成立。由 $Q$ 的非异性可得 $P^{\prime }PA=A(Q{Q}^{\prime }{)}^{-1}$ 对任意的 $A\in V$ 成立。令 $A=I_n$ 可得 $P^{\prime }P=(Q{Q}^{\prime }{)}^{-1}$，因此上式即言 $P^{\prime }P$ 与任意的 $A$ 均乘法可交换，于是存在实数 $c$， 使得 $P^{\prime }P=c{I}_n$。又 $P$ 可逆，故 $P^{\prime }P$ 正定，从而 $c>0$，由此即得必要性。充分性显然成立。

(3) 若 $\phi$ 是自伴随算子，即 ${\phi }^{\ast }=\phi$，则由 (1) 可知， $P^{\prime }A{Q}^{\prime }=PAQ$ 对任意的 $A\in V$ 成立。由 $P,Q$ 的非异性可得 $P^{-1}{P}^{\prime }A=AQ(Q^{\prime }{)}^{-1}$ 对任意的 $A\in V$ 成立。令 $A=I_n$ 可得 $P^{-1}{P}^{\prime }=Q(Q^{\prime }{)}^{-1}$，因此上式即言 $P^{-1}{P}^{\prime }$ 与任意的 $A$ 均乘法可交换， 于是存在实数 $c$，使得 $P^{-1}{P}^{\prime }=c{I}_n$，即 $P^{\prime }=cP$。此式转置后可得 $P=c{P}^{\prime }=c^{2}P$，又 $P$ 可逆，故 $c^2=1$，从而 $c=\pm 1$，由此即得必要性。充分性显然成立。

(4) 若 $\phi$ 是正规算子，即 ${\phi }^{\ast }\phi =\phi {\phi }^{\ast }$，则由 (1) 可知， $P^{\prime }PAQ{Q}^{\prime }=P{P}^{\prime }A{Q}^{\prime }Q$ 对任意的 $A\in V$ 成立。由 $P,Q$ 的非异性可得

$$(P{P}^{\prime }{)}^{-1}{P}^{\prime }PA=A{Q}^{\prime }Q(Q{Q}^{\prime }{)}^{-1}$$

对任意的 $A\in V$ 成立。令 $A=I_n$ 可得 $(P{P}^{\prime }{)}^{-1}{P}^{\prime }P=Q^{\prime }Q(Q{Q}^{\prime }{)}^{-1}$，因此上式即言 $(P{P}^{\prime }{)}^{-1}{P}^{\prime }P$ 与任意的 $A$ 均乘法可交换，于是存在实数 $c$，使得 $(P{P}^{\prime }{)}^{-1}{P}^{\prime }P=c{I}_n$，即 $P^{\prime }P=cP{P}^{\prime }$。上式两边同时取迹，由于 $P$ 可逆，故 $\mathrm{tr}(P^{\prime }P)=\mathrm{tr}(P{P}^{\prime })>0$，从而 $c=1$，由此即得必要性。 充分性显然成立。$\square$

\par**第 2 章解答题 15** 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，定义函数 $f(A)={\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}^2$。设 $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，使得对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ 成立：$f(PA{P}^{-1})=f(A)$。证明：存在非零常数 $c$，使得 $P^{\prime }P=c{I}_n$。

证法 2 我们把数域限定在实数域上，并取 $V=M_n(\mathbb{R})$ 上的 Frobenius 内积，则

$$f(A)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}^2=\Vert A{\Vert }^2.$$

设 $\phi (A)=PA{P}^{-1}$ 为 $V$ 上的线性变换，则题目条件可改写为 $\Vert \phi (A)\Vert =\Vert A\Vert$ 对任意的 $A\in V$ 成立，于是 $\phi$ 是正交算子， 从而由例 9.29 (2) 即得结论。$\square$