例 9.30

依赖于

• 例 9.29

被以下题目直接调用

• 无

例 9.30

设 $V$ 是 $n$ 阶实对称矩阵构成的欧氏空间（取 Frobenius 内积）。

(1) 求出 $V$ 的一组标准正交基；

(2) 设 $T$ 是一个 $n$ 阶实矩阵，$V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为 $\phi (A)=T^{\prime }AT$，求证：$\phi$ 是自伴随算子的充要条件是 $T$ 为对称矩阵或反对称矩阵。

解答

证明 (1) 记 $E_{ij}$ 为 $n$ 阶基础矩阵，则容易验证下列矩阵构成了 $V$ 的一组标准正交基：

$$E_{ii}(1\le i\le n);\frac{1}{\sqrt{2}}(E_{ij}+E_{ji})(1\le i<j\le n).$$

(2) 先证充分性。若 $T$ 为对称矩阵或反对称矩阵，则由例 9.29 可知，

$${\phi }^{\ast }(A)=(T^{\prime }{)}^{\prime }A{T}^{\prime }=TA{T}^{\prime }=T^{\prime }AT=\phi (A)$$

对任一 $A\in V$ 成立，故 $\phi ={\phi }^{\ast }$ 是自伴随算子。

再证必要性。若 $\phi$ 是自伴随算子，则同上理由可得 $TA{T}^{\prime }=T^{\prime }AT$ 对任一 $A\in V$ 成立。设 $T=(t_{ij})$，令 $A=E_{ij}+E_{ji}$ 代入上述等式可得

$$t_{ik}{t}_{jl}+t_{il}{t}_{jk}=t_{ki}{t}_{lj}+t_{li}{t}_{kj}\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

对一切 $i,j,k,l$ 都成立。令 $k=l$，则可得

$$t_{ik}{t}_{jk}=t_{ki}{t}_{kj}$$

对一切 $i,j,k$ 都成立。进一步令 $i=j$，则可得 $t_{ik}^2=t_{ki}^2$ 对一切 $i,k$ 都成立，因此 $t_{ik}=t_{ki}$ 或 $t_{ik}=-t_{ki}$。假设有某个 $i\ne k$， $t_{ik}=t_{ki}\ne 0$；又有某个 $t_{uv}=-t_{vu}\ne 0$，则从 $t_{ik}{t}_{uk}=t_{ki}{t}_{ku}$ 可推出 $t_{uk}=t_{ku}$。这时若 $t_{uk}\ne 0$， 则从 $t_{uk}{t}_{uv}=t_{ku}{t}_{vu}$ 可推出 $t_{uv}=t_{vu}$，矛盾。若 $t_{uk}=0$， 则在 (9.7) 式中令 $j=u,l=v$，仍可推出 $t_{uv}=t_{vu}$，依然矛盾。于是或者 $t_{ik}=t_{ki}$ 对一切 $i,k$ 成立，或者 $t_{ik}=-t_{ki}$ 对一切 $i,k$ 成立， 即 $T$ 或者是对称矩阵，或者是反对称矩阵。$\square$