第 2 章解答题 15

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• 无显式依赖

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• 例 9.29

第 2 章解答题 15

设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，定义函数 $f(A)={\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}^2$。设 $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，使得对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ 成立：$f(PA{P}^{-1})=f(A)$。证明：存在非零常数 $c$，使得 $P^{\prime }P=c{I}_n$。

\repsubsection{2.12.2}{训 练 题 答 案}

解答

由假设知 $f(A)=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })$，因此

$$f(PA{P}^{-1})=\mathrm{tr}(PA{P}^{-1}(P^{\prime }{)}^{-1}{A}^{\prime }{P}^{\prime })=\mathrm{tr}((P^{\prime }P)A(P^{\prime }P{)}^{-1}{A}^{\prime })=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime }).$$

以下设 $P^{\prime }P=(c_{ij})$，$(P^{\prime }P{)}^{-1}=(d_{ij})$。注意 $P^{\prime }P$ 是对称矩阵，后面要用到。令 $A=E_{ij}$ 并代入上式，则通过简单的计算可得

$$c_{ii}{d}_{jj}=1.$$

再令 $A=E_{ij}+E_{kl}$ 并代入上式，则通过简单的计算可得

$$c_{ii}{d}_{jj}+c_{kk}{d}_{ll}+c_{ki}{d}_{jl}+c_{ik}{d}_{lj}=2+2{\delta }_{ik}{\delta }_{jl},$$

其中 ${\delta }_{ik}$ 是 Kronecker 符号。由上述两个关系式可得

$$c_{ki}{d}_{jl}+c_{ik}{d}_{lj}=2{\delta }_{ik}{\delta }_{jl}.$$

在上式中令 $j=l,i\ne k$，注意到 $d_{jj}\ne 0$，故有 $c_{ik}+c_{ki}=0$，又因为 $c_{ik}=c_{ki}$，故 $c_{ik}=0,\forall i\ne k$。于是 $P^{\prime }P$ 是一个对角矩阵，从而 $d_{jj}=c_{jj}^{-1}$，由此可得 $c_{ii}=c_{jj},\forall i,j$。因此 $P^{\prime }P=c{I}_n$，其中 $c=c_{11}\ne 0$。