例 9.17

依赖于

• 例 9.16
• 例 8.68
• 例 9.15

被以下题目直接调用

• 无

例 9.17

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实矩阵，证明下列 Hadamard 不等式：

$$|A{|}^2\le \prod _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{a}_{ij}^2.$$

解答

证明 设 $u_1,u_2,\cdots ,u_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个列向量，则 $G=A^{\prime }A$ 可以看成是 $u_1,u_2,\cdots ,u_n$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准内积下的 Gram 矩阵。由例 9.16 可得

$$|A{|}^2=|A^{\prime }A|=|G|\le \prod _{j=1}^n\Vert u_j{\Vert }^2=\prod _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{a}_{ij}^2.$$

\par注 (1) 例 9.16 和例 9.17 还可以直接由例 8.68 得到。另外，利用 Hadamard 不等式可以证明如下结论： 若 $n$ 阶实矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足 $|a_{ij}|\le M(1\le i,j\le n)$，则 $|A|\le M^n\cdot n^{\frac{n}{2}}$。这些证明的细节留给读者自行完成。

(2) 例 9.15 和例 9.16 的结论对复内积空间也成立，不过证明中有两个细微之处需要修改， 请读者自行完成。因此对 $n$ 阶复矩阵 $A=(a_{ij})$，用相同的方法可以证明：

$$|\det A{|}^2\le \prod _{j=1}^n\sum _{i=1}^n|a_{ij}{|}^2.$$

有限维内积空间 $V$ 是任一子空间 $U$ 与其正交补空间 $U^{\perp }$ 的正交直和，因此我们经常利用 正交补空间配合数学归纳法证明关于内积空间以及线性算子的某些重要命题。关于正交补空间的验证， 常常利用有限维空间中的维数关系，它可以使证明更加简洁。我们先来看正交补空间性质的两道例题。