例 8.68

依赖于

• 例 8.55

被以下题目直接调用

• 例 8.69
• 例 9.17

例 8.68

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：

$$|A|\le a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn},$$

且等号成立当且仅当或者存在某个 $a_{ii}=0$，或者 $A$ 是对角矩阵。

解答

证明 对任意的正实数 $t$，$A+t{I}_n$ 为正定阵，故由例 8.55 可得

$$|A+t{I}_n|\le (a_{11}+t)(a_{22}+t)\cdots (a_{nn}+t),$$

令 $t\to 0+$，即得不等式。若 $A$ 是非正定的半正定阵，则 $|A|=0$，此时等号成立当且仅当存在某个 $a_{ii}=0$；若 $A$ 是正定阵，则由例 8.55 可知等号成立当且仅当 $A$ 是对角矩阵。$\square$