例 8.55

依赖于

• 例 8.54

被以下题目直接调用

• 例 8.56
• 例 8.68

例 8.55

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶正定实对称矩阵，求证：

$$|A|\le a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn},$$

且等号成立当且仅当 $A$ 是对角矩阵。

解答

证明 由例 8.54 可得 $|A|\le a_{nn}{P}_{n-1}$，且等号成立当且仅当 $\alpha =0$。不断迭代下去，可得

$$|A|\le a_{nn}{P}_{n-1}\le a_{n-1,n-1}{a}_{nn}{P}_{n-2}\le \cdots \le a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn},$$

且等号成立当且仅当 $A$ 是对角矩阵。$\square$