例 9.14

依赖于

• 例 9.3
• 第 8 章解答题 12

被以下题目直接调用

• 例 9.15
• 例 9.36

例 9.14

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$A$ 是 $m$ 阶半正定实对称矩阵且 $r(A)=r\le n$， 求证：必存在 $V$ 上的向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$，使得其 Gram 矩阵就是 $A$。

解答

证明 采用与例 9.3 类似的讨论可证明：若向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 与 $\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k\}$ 满足 ${\alpha }_j={\sum }_{i=1}^k{c}_{ij}{\beta }_i(1\le j\le m)$，即 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k)C$， 其中 $C=(c_{ij}{)}_{k\times m}$，则有

$$G({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)=C^{\prime }G({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k)C.$$

因为 $A$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶半正定阵，故由第 8 章解答题 12 可知，存在 $r\times m$ 实矩阵 $T$，使得 $A=T^{\prime }T$。取 $V$ 的一组标准正交基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，令

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)=(e_1,e_2,\cdots ,e_r)T,$$

则由上面的结论即得

$$G({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)=T^{\prime }G(e_1,e_2,\cdots ,e_r)T=T^{\prime }T=A.$$

下面 3 个例题反映了 Gram-Schmidt 正交化方法对向量组的 Gram 矩阵的影响。