第 8 章解答题 12

依赖于

• 例 3.76

被以下题目直接调用

• 例 9.14

第 8 章解答题 12

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：$A$ 是秩为 $r$ 的半正定阵的充要条件是存在秩等于 $r$ 的 $r\times n$ 实矩阵 $B$，使得 $A=B^{\prime }B$。

解答

若 $A=B^{\prime }B$，则由例 3.76 可得 $r(A)=r(B^{\prime }B)=r(B)=r$，且对任意的 $n$ 维实列向量 $\alpha$， ${\alpha }^{\prime }A\alpha ={\alpha }^{\prime }{B}^{\prime }B\alpha =(B\alpha {)}^{\prime }(B\alpha )\ge 0$，因此 $A$ 是秩为 $r$ 的半正定阵。 反之，若 $A$ 是秩为 $r$ 的半正定阵，则存在可逆矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,0,\cdots ,0\}C$，其中有 $r$ 个 1。令 $B=(I_{r}O)C$，则 $B$ 是秩等于 $r$ 的 $r\times n$ 矩阵，且 $A=B^{\prime }B$。