例 9.3 依赖于 无显式依赖 被以下题目直接调用 例 9.4 例 9.11 例 9.14 例 9.3 设 V 为 n 维内积空间，{e1,e2,⋯,en} 和 {f1,f2,⋯,fn} 分别是 V 的两组基。设基 {e1,e2,⋯,en} 的 Gram 矩阵为 G， 基 {f1,f2,⋯,fn} 的 Gram 矩阵为 H，从基 {e1,e2,⋯,en} 到基 {f1,f2,⋯,fn} 的过渡矩阵为 C。求证：若 V 为欧氏空间，则 H=C′GC；若 V 为酉空间，则 H=C′GC。 解答 证明 设 V 为酉空间，G=(gij)，H=(hij)，C=(cij)，则 fk=∑i=1ncikei，于是 hkl=(fk,fl)=(i=1∑ncikei,j=1∑ncjlej)=i,j=1∑ncikcjl(ei,ej)=i,j=1∑ncikgijcjl. 上式左边是 H 的第 (k,l) 元素，右边是 C′GC 的第 (k,l) 元素， 从而结论得证。欧氏空间的情形类似。□
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