例 9.4

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• 例 9.3

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• 无

例 9.4

设 $V$ 是 $n$ 维实（复）内积空间，$H$ 是一个 $n$ 阶正定实对称矩阵（正定 Hermite 矩阵），求证： 必存在 $V$ 上的一组基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$，使得它的 Gram 矩阵就是 $H$。

解答

证明 任取 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，设其 Gram 矩阵为 $G$，这也是一个 $n$ 阶正定实对称矩阵 （正定 Hermite 矩阵），于是 $G$ 与 $H$ 合同（复相合），即存在 $n$ 阶非异阵 $C=(c_{ij})$，使得 $H=C^{\prime }GC$（$H=C^{\prime }G\overline{C}$）。令 $f_j={\sum }_{i=1}^n{c}_{ij}{e}_i(1\le j\le n)$， 则由 $C$ 非异可知 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 是 $V$ 的一组基，并且从基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 到基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 的过渡矩阵恰为 $C$， 再由例 9.3 可知，基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 的 Gram 矩阵就是 $C^{\prime }GC=H$（$C^{\prime }G\overline{C}=H$）。$\square$