例 9.110

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• 例 9.111
• 第 9 章解答题 17

例 9.110

设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的非零线性变换，求证：$\phi$ 保持向量的正交性不变的 充要条件是存在正实数 $k$，使得 ${\phi }^{\ast }\phi =k{I}_V$。

解答

证法 1 先证充分性。若 ${\phi }^{\ast }\phi =k{I}_V$，则对任意正交的向量 $u,v$， $(\phi (u),\phi (v))=({\phi }^{\ast }\phi (u),v)=k(u,v)=0$，即 $\phi$ 保持向量的 正交性不变。再证必要性。取 $V$ 的一组标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，因为 $\phi$ 保持向量的正交性不变，所以 $\phi (e_1),\phi (e_2),\cdots ,\phi (e_n)$ 是一个两两正交的向量组。 对任意的 $i\ne j$，$(e_i+e_j,e_i-e_j)=0$，故

$$(\phi (e_i)+\phi (e_j),\phi (e_i)-\phi (e_j))=0,$$

从而 $(\phi (e_i),\phi (e_i))=(\phi (e_j),\phi (e_j))$，于是 $(\phi (e_i),\phi (e_i))$ 是一个不依赖于 $i$ 的常数，设之为 $k$。又因为 $\phi$ 是非零线性变换， 故至少存在一个 $i$，使得 $\phi (e_i)\ne 0$，从而 $k>0$，于是 $\Vert \phi (e_i)\Vert =\sqrt{k}(1\le i\le n)$。考虑线性变换 $\frac{1}{\sqrt{k}}\phi$，它将标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 映为标准正交基

$$\frac{1}{\sqrt{k}}\phi (e_1),\frac{1}{\sqrt{k}}\phi (e_2),\cdots ,\frac{1}{\sqrt{k}}\phi (e_n)$$

，故为正交变换，从而

$$\left(\frac{1}{\sqrt{k}}{\phi }^{\ast }\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\phi \right)=I_V,$$

即 ${\phi }^{\ast }\phi =k{I}_V$ 成立。 证法 2 充分性的证明同证法 1，下证必要性。设 $S=\{v\in V\mid \Vert v\Vert =1\}$，任取两个不正交的向量 $u,v\in S$，由 Gram-Schmidt 正交化方法可知 $(v-(v,u)u,u)=0$，从而有

$$(\phi (v)-(v,u)\phi (u),\phi (u))=0,$$

于是

$$(\phi (v),\phi (u))=(v,u)(\phi (u),\phi (u)).$$

同理可得

$$(\phi (u),\phi (v))=(u,v)(\phi (v),\phi (v)).$$

由于 $(u,v)\ne 0$，故 $(\phi (u),\phi (u))=(\phi (v),\phi (v))$。对两个正交的向量 $u,v\in S$， 令 $w=\frac{1}{\sqrt{2}}(u+v)\in S$，则 $w$ 与 $u,v$ 中任意一个都不正交，从而由上面的讨论可知

$$(\phi (u),\phi (u))=(\phi (w),\phi (w))=(\phi (v),\phi (v)),$$

因此 $(\phi (v),\phi (v))$ 是 $S$ 上的常值函数，记之为 $k$。因为 $\phi$ 是非零线性变换，故存在非零向量 $v\in V$，使得 $\phi (v)\ne 0$，从而

$$\phi \left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)=\frac{\phi (v)}{\Vert v\Vert }\ne 0,$$

于是 $k>0$。因此对任一非零向量 $v\in V$，有

$$\sqrt{k}=\Vert \phi \left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\Vert =\frac{\Vert \phi (v)\Vert }{\Vert v\Vert },$$

从而

$$\Vert \frac{1}{\sqrt{k}}\phi (v)\Vert =\Vert v\Vert .$$

这个等式对 $v=0$ 也成立，这说明 $\frac{1}{\sqrt{k}}\phi$ 保持范数，从而是正交变换，于是

$$\left(\frac{1}{\sqrt{k}}{\phi }^{\ast }\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\phi \right)=I_V,$$

即 ${\phi }^{\ast }\phi =k{I}_V$ 成立。$\square$