第 9 章解答题 17

依赖于

• 例 9.110

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 17

设 $\phi$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的非异线性变换，求证：$\phi$ 保持向量的夹角不变 （即对任意的非零向量 $\alpha ,\beta$，它们的夹角等于 $\phi (\alpha ),\phi (\beta )$ 的夹角） 的充要条件是 $\phi$ 保持向量的正交性不变。

解答

必要性显然成立，下证充分性。若 $\phi$ 保持向量的正交性不变，则由例 9.110 可知， 存在正实数 $k$，使得 ${\phi }^{\ast }\phi =k{I}_V$。因此对任意的向量 $\alpha ,\beta$，有

$$(\phi (\alpha ),\phi (\beta ))=({\phi }^{\ast }\phi (\alpha ),\beta )=k(\alpha ,\beta ),$$

特别地，$\Vert \phi (\alpha )\Vert =\sqrt{k}\Vert \alpha \Vert$。于是对任意的非零向量 $\alpha ,\beta$，有

$$\cos {\theta }_{\phi (\alpha ),\phi (\beta )}=\frac{(\phi (\alpha ),\phi (\beta ))}{\Vert \phi (\alpha )\Vert \Vert \phi (\beta )\Vert }=\frac{(\alpha ,\beta )}{\Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert }=\cos {\theta }_{\alpha ,\beta }.$$

若将夹角规定在 $[0,\pi ]$ 中，则可得 ${\theta }_{\phi (\alpha ),\phi (\beta )}={\theta }_{\alpha ,\beta }$，即 $\phi$ 保持向量的夹角不变。