例 9.11

依赖于

• 例 9.3

被以下题目直接调用

• 例 9.12
• 例 9.22

例 9.11

设 $V=\mathbb{R}[x{]}_n$ 为次数小于等于 $n$ 的实系数多项式构成的欧氏空间， 对任意的 $f(x),g(x)$，其内积定义为

$$(f(x),g(x))={\int }_{-1}^{1}f(x)g(x)dx$$

（参考例 9.1 (5)）。设

$$u_0(x)=1,u_k(x)=\frac{d^k}{d{x}^k}[(x^2-1{)}^k](k\ge 1),m_k=\sqrt{\frac{2^{k+1}k!(2k)!}{(2k+1)!!}}(k\ge 0).$$

求证：从基 $\{1,x,\cdots ,x^n\}$ 出发，由 Gram-Schmidt 正交化方法得到的标准正交基为

$$\left\{\frac{u_k(x)}{m_k},0\le k\le n\right\},$$

称之为 Legendre 多项式。

解答

证明 由 Gram-Schmidt 正交化方法，从 $1,x,x^2,x^3$ 可得标准正交基中前 4 个基向量分别为

$$\begin{array}{rlrl}{w}_0(x)& =\frac{1}{\sqrt{2}},& w_1(x)& =\sqrt{\frac{3}{2}}x,\\ w_2(x)& =\sqrt{\frac{5}{8}}(3x^2-1),& w_3(x)& =\sqrt{\frac{7}{8}}(5x^3-3x),\end{array}$$

读者不难验证这就是 Legendre 多项式的前 4 个多项式。不过这样的计算很难推广到一般的情形， 但我们可以通过验证 $\{u_k(x)\}$ 是一组正交基以及 Cholesky 分解与 Gram-Schmidt 正交化和标准化之间的一一对应来证明结论。

首先注意到，对任意的 $j<k$，有

$${\frac{d^j}{d{x}^j}[(x^2-1{)}^k\left]\right|}_{x=\pm 1}=0,$$

故由分部积分可得

$$\begin{array}{rl}(u_k(x),x^j)& ={\int }_{-1}^1\frac{d^k}{d{x}^k}[(x^2-1{)}^k]x^{j}dx\\ & =-j{\int }_{-1}^1\frac{d^{k-1}}{d{x}^{k-1}}[(x^2-1{)}^k]x^{j-1}dx.\end{array}$$

不断做下去可知，当 $j<k$ 时，$(u_k(x),x^j)=0$；

$$(u_k(x),x^k)=(-1{)}^{k}k!{\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^{k}dx.$$

注意到 $u_k(x)$ 是一个 $k$ 次多项式且首项系数为 $2k(2k-1)\cdots (k+1)$， 由上述结果并且经过进一步的计算可知

$$\Vert u_k(x){\Vert }^2=\frac{2^{k+1}k!(2k)!}{(2k+1)!!},(u_k(x),u_l(x))=0(k>l),$$

因此

$$\left\{\frac{u_k(x)}{m_k},0\le k\le n\right\}$$

是 $V$ 的一组标准正交基。设从基 $\{1,x,\cdots ,x^n\}$ 到基

$$\left\{\frac{u_k(x)}{m_k},0\le k\le n\right\}$$

的过渡矩阵为 $P$，基 $\{1,x,\cdots ,x^n\}$ 的 Gram 矩阵为 $A$，则 $P$ 是一个主对角元全大于零的上三角矩阵， 且由例 9.3 可得 $I_{n+1}=P^{\prime }AP$，从而

$$A=(P^{-1}{)}^{\prime }{P}^{-1}$$

是 Cholesky 分解。由 Cholesky 分解的唯一性以及它与 Gram-Schmidt 正交化和标准化之间的一一对应可知，

$$\left\{\frac{u_k(x)}{m_k},0\le k\le n\right\}$$

就是从基 $\{1,x,\cdots ,x^n\}$ 出发由 Gram-Schmidt 正交化方法得到的标准正交基。$\square$