例 9.109

依赖于

• 例 9.108
• 例 9.106
• 例 6.90

被以下题目直接调用

• 无

例 9.109

设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正规算子，$\psi$ 是 $V$ 上某一线性算子，满足 $\phi \psi =\psi \phi$，求证：${\phi }^{\ast }\psi =\psi {\phi }^{\ast }$。

解答

证法 1 我们引用一下教材 [1] 中证明实正规算子正交相似标准型的几何方法。设 $g(x)$ 是 $\phi$ 的极小多项式，则 $g(x)=g_1(x)g_2(x)\cdots g_t(x)$ 在实数域上可以分解为互异的首一不可约多项式 $g_i(x)$ 的乘积。令 $V_i=\mathrm{Ker}{g}_i(\phi )$，则

$$V=V_1\perp V_2\perp \cdots \perp V_t,$$

${\phi }_i=\phi {|}_{V_i}$ 是 $V_i$ 上的正规算子且极小多项式为 $g_i(x)$。若 $g_i(x)=(x-a_i{)}^2+b_i^2$，则存在 $V_i$ 的标准正交基，使得 ${\phi }_i$ 的表示矩阵为

$$\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ -b_i& a_i\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ -b_i& a_i\end{array}\right)\right\};$$

若 $g_i(x)=x-c_i$，则 ${\phi }_i=c_i{I}_{V_i}$。具体的证明请参考教材 [1] \S9.7。 回到本题的证明，由于 $\phi \psi =\psi \phi$，故易证 $V_i$ 也是 $\psi$ 的不变子空间。 令 ${\psi }_i=\psi {|}_{V_i}$，则有 ${\phi }_i{\psi }_i={\psi }_i{\phi }_i$。若 $g_i(x)=(x-a_i{)}^2+b_i^2$，则 ${\phi }_i$ 满足例 9.108 的条件，从而 ${\phi }_i^{\ast }=(a_i^2+b_i^2){\phi }_i^{-1}$，于是由 ${\phi }_i^{-1}{\psi }_i={\psi }_i{\phi }_i^{-1}$ 即得 ${\phi }_i^{\ast }{\psi }_i={\psi }_i{\phi }_i^{\ast }$； 若 $g_i(x)=x-c_i$，则 ${\phi }_i={\phi }_i^{\ast }=c_i{I}_{V_i}$，此时 ${\phi }_i^{\ast }{\psi }_i={\psi }_i{\phi }_i^{\ast }$ 显然成立。因为 ${\phi }^{\ast }\psi =\psi {\phi }^{\ast }$ 在每一个 $V_i$ 上都成立，所以在 $V$ 上也成立。 我们也可以平行地给出代数的证明，类似于例 9.106 证法 1 中的讨论，可假设 $\phi$ 在某组标准正交基下的表示矩阵已是如下形状的标准型：

$$A=\mathrm{diag}\{B_1,\cdots ,B_s,B_{s+1},\cdots ,B_t\},$$

其中

$$B_i=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ -b_i& a_i\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ -b_i& a_i\end{array}\right)\right\}(1\le i\le s),$$

$B_j=\mathrm{diag}\{c_j,\cdots ,c_j\}$，$s+1\le j\le t$。设 $\psi$ 在同一组基下的 表示矩阵是 $C$，则 $AC=CA$。因为 $B_i$ 的特征值互不相同，故由例 6.90 可知， $C=\mathrm{diag}\{C_1,C_2,\cdots ,C_t\}$，从而 $B_i{C}_i=C_i{B}_i$。注意到 $B_i^{\prime }=(a_i^2+b_i^2)B_i^{-1}(1\le i\le s)$，$B_j^{\prime }=B_j(s+1\le j\le t)$， 故可得 $B_i^{\prime }{C}_i=C_i{B}_i^{\prime }$，于是 $A^{\prime }C=C{A}^{\prime }$，从而 ${\phi }^{\ast }\psi =\psi {\phi }^{\ast }$ 成立。

证法 2 由例 9.106 可知，存在实系数多项式 $g(x)$，使得 ${\phi }^{\ast }=g(\phi )$。因为 $\phi$ 与 $\psi$ 乘法可交换，所以 ${\phi }^{\ast }$ 也与 $\psi$ 乘法可交换。$\square$