例 9.1

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• 无显式依赖

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• 例 9.8

例 9.1

证明下列线性空间在给定的二元运算下成为内积空间：

(1) 设 $V={\mathbb{R}}^n$ 为 $n$ 维实列向量空间，$G$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，对任意的 $\alpha ,\beta \in V$，定义 $(\alpha ,\beta )={\alpha }^{\prime }G\beta$；

(2) 设 $V={\mathbb{R}}_n$ 为 $n$ 维实行向量空间，$G$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，对任意的 $\alpha ,\beta \in V$，定义 $(\alpha ,\beta )=\alpha G{\beta }^{\prime }$；

(3) 设 $V={\mathbb{C}}^n$ 为 $n$ 维复列向量空间，$H$ 为 $n$ 阶正定 Hermite 矩阵，对任意的 $\alpha ,\beta \in V$，定义 $(\alpha ,\beta )={\alpha }^{\prime }H\overline{\beta }$；

(4) 设 $V={\mathbb{C}}_n$ 为 $n$ 维复行向量空间，$H$ 为 $n$ 阶正定 Hermite 矩阵，对任意的 $\alpha ,\beta \in V$，定义 $(\alpha ,\beta )=\alpha H{\overline{\beta }}^{\prime }$；

(5) 设 $V=C[a,b]$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数全体构成的实线性空间，对任意的 $f(t),g(t)\in V$，定义

$$(f(t),g(t))={\int }_a^{b}f(t)g(t)dt;$$

(6) 设 $V=\mathbb{R}[x]$ 为实系数多项式全体构成的实线性空间，对任意的 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$，$g(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m$，定义

$$(f(x),g(x))=a_0{b}_0+a_1{b}_1+\cdots +a_k{b}_k,k=\min \{n,m\};$$

(7) 设 $V=M_n(\mathbb{R})$ 为 $n$ 阶实矩阵全体构成的实线性空间，对任意的 $A=(a_{ij})$，$B=(b_{ij})\in V$，定义

$$(A,B)=\mathrm{tr}(A{B}^{\prime })=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij};$$

(8) 设 $V=M_n(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶复矩阵全体构成的复线性空间，对任意的 $A=(a_{ij})$，$B=(b_{ij})\in V$，定义

$$(A,B)=\mathrm{tr}(A{\overline{B}}^{\prime })=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\overline{b_{ij}}.$$

解答

证明 (1) 首先注意到 ${\alpha }^{\prime }G\beta$ 是一个数，$G$ 是实对称矩阵，故它们都等于自身的转置，从而

$$(\alpha ,\beta )={\alpha }^{\prime }G\beta =({\alpha }^{\prime }G\beta {)}^{\prime }={\beta }^{\prime }{G}^{\prime }\alpha ={\beta }^{\prime }G\alpha =(\beta ,\alpha ),$$

即得对称性；其次由矩阵乘法的性质可得第一变量的线性；最后由 $G$ 的正定性可知， $(\alpha ,\alpha )={\alpha }^{\prime }G\alpha \ge 0$，且等号成立当且仅当 $\alpha =0$，即得正定性。 因此上述二元运算是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的内积，称为由正定实对称矩阵 $G$ 定义的内积。当 $G=I_n$ 时，上述内积称为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准内积。

(2) 类似于 (1) 的证明可得。当 $G=I_n$ 时，上述内积称为 ${\mathbb{R}}_n$ 上的标准内积。

(3) 首先注意到 ${\overline{H}}^{\prime }=H$，故

$$\overline{(\alpha ,\beta )}=\overline{{\alpha }^{\prime }H\overline{\beta }}={\beta }^{\prime }{\overline{H}}^{\prime }\overline{\alpha }={\beta }^{\prime }H\overline{\alpha }=(\beta ,\alpha ),$$

即得共轭对称性；其次由矩阵乘法的性质可得第一变量的线性；最后由 $H$ 的正定性可知， $(\alpha ,\alpha )={\alpha }^{\prime }H\overline{\alpha }\ge 0$，且等号成立当且仅当 $\alpha =0$，即得正定性。 因此上述二元运算是 ${\mathbb{C}}^n$ 上的内积，称为由正定 Hermite 矩阵 $H$ 定义的内积。当 $H=I_n$ 时，上述内积称为 ${\mathbb{C}}^n$ 上的标准内积。

(4) 类似于 (3) 的证明可得。当 $H=I_n$ 时，上述内积称为 ${\mathbb{C}}_n$ 上的标准内积。

(5) 对称性显然成立；由积分运算的线性可得第一变量的线性；由连续函数的性质可得正定性， 因此上述二元运算是 $C[a,b]$ 上的内积。

(6) 容易验证对称性、第一变量的线性和正定性都成立。

(7) 参考 \S2.7，由求迹运算的对称性、线性和正定性即得上述二元运算的对称性、线性和正定性， 因此它是 $M_n(\mathbb{R})$ 上的内积。

(8) 证明是类似的。这两种由矩阵的迹定义的内积称为矩阵空间上的 Frobenius 内积。$\square$