问题 2023S09

依赖于

• 问题 2021S11
• 例 1.18
• 例 8.64
• 例 8.58

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• 无

问题 2023S09

设 $A=(a_{ij})$ 为 n 阶正定实对称阵, $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 为正实数, 证明: $B=\left(\frac{a_{ij}}{b_i+b_j}\right)$ 也是正定阵.

解答

下面给出三种证法.

证法 1 (Hadamard 乘积) 设 n 阶矩阵 $C=\left(\frac{1}{b_i+b_j}\right)$，则由例 1.18 (Cauchy 行列式) 可得

$$|\mathbf{C}|=\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(b_i-b_j{)}^2}{{\prod }_{i,j=1}^n(b_i+b_j)}\ge 0.$$

同理 C 的任一主子式也是 Cauchy 行列式, 从而大于等于零, 故由例 8.64可知 C 为半正定阵. 注意到 C 的主对角元 $\frac{1}{2b_i}$ 都大于零, 于是由 问题 2021S11 可知, Hadamard 乘积 $B=A\circ C=\left(\frac{a_{ij}}{b_i+b_j}\right)$ 是正定阵.

证法 2 (顺序主子式判定) 设 $C=\text{diag}\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\}$，则容易验证 $CB+BC=A$。注意到 $(BC{)}^{\prime }=CB$，故 $BC+(BC{)}^{\prime }=A$ 为正定阵。由例 8.58 及其注可知，BC 为亚正定阵且 $|BC|=|B||C|>0$，于是 $|B|>0$。注意到 B 的任一顺序主子式也具有相同的形状，从而都大于零，故 B 为正定阵。

证法 3 (分析证法) 实对称阵 B 对应的实二次型为 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{B}\mathbf{x}={\sum }_{i,j=1}^n\frac{a_{ij}}{b_i+b_j}{x}_i{x}_j$. 考虑如下关于 t 的函数, 它由实二次型 $f(\mathbf{x})$ 中诸未定元 $x_i$ 乘以系数 $e^{b_{i}t}$ 得到:

$$g(t)=f_t(\mathbf{x})=\sum _{i,j=1}^n\frac{a_{ij}}{b_i+b_j}{\mathrm{e}}^{(b_i+b_j)t}{x}_i{x}_j.$$

对任意给定的 $0\ne x\in R^n$，由 A 的正定性可得

$$g^{\prime }(t)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}({\mathrm{e}}^{b_{i}t}{x}_i)({\mathrm{e}}^{b_{j}t}{x}_j)>0\text{且}\underset{t\to -\infty }{\lim }g(t)=0.$$

因此 $f(x)=f_0(x)>f_{-\infty }(x)=0,$ 即 $f(x)$ 为正定型，从而 $B$ 为正定阵.