例 8.9

依赖于

• 例 2.67
• 例 8.7

被以下题目直接调用

• 无

例 8.9

求 $n(n\ge 2)$ 阶实对称矩阵 $A$ 的正负惯性指数，其中 $a_i$ 均为实数：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1^2& a_1{a}_2+1& \cdots & a_1{a}_n+1\\ a_2{a}_1+1& a_2^2& \cdots & a_2{a}_n+1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n{a}_1+1& a_n{a}_2+1& \cdots & a_n^2\end{array}\right).$$

解答

解 构造分块对称矩阵

$$M=\left(\begin{array}{cc}-I_n& B\\ B^{\prime }& -I_2\end{array}\right),B^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right),$$

则

$$A=-I_n-B(-I_2{)}^{-1}{B}^{\prime }.$$

由于

$$C=-I_2-B^{\prime }(-I_n{)}^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n{a}_i^2-1& \sum _{i=1}^n{a}_i\\ \sum _{i=1}^n{a}_i& n-1\end{array}\right)$$

经过对称初等变换可化为 $\mathrm{diag}\left\{\frac{|C|}{n-1},n-1\right\}$，故当 $|C|>0$ 时， $p(C)=2,q(C)=0$；当 $|C|=0$ 时，$p(C)=1,q(C)=0$；当 $|C|<0$ 时， $p(C)=1,q(C)=1$。再由例 2.67 和例 8.7 可知，当 $(-1{)}^n|A|>0$ 时， $p(A)=2,q(A)=n-2$；当 $|A|=0$ 时，$p(A)=1,q(A)=n-2$；当 $(-1{)}^n|A|<0$ 时，$p(A)=1,q(A)=n-1$。$\square$