例 2.67

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无显式依赖

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例 8.9

例 2.67

求下列矩阵的行列式的值：
$A = a_{1}^{2} a_{2} a_{1} + 1 ⋮ a_{n} a_{1} + 1 a_{1} a_{2} + 1 a_{2}^{2} ⋮ a_{n} a_{2} + 1 \dots \dots \dots a_{1} a_{n} + 1 a_{2} a_{n} + 1 ⋮ a_{n}^{2} .$

解答

解将 $A$ 化为

A = - I_{n} + a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 11 ⋮ 1 I_{2}^{- 1} (a_{1} 1 a_{2} 1 \dots \dots a_{n} 1) .

由降阶公式得到

∣ A ∣ = ∣ - I_{n} ∣ I_{2} + (a_{1} 1 a_{2} 1 \dots \dots a_{n} 1) (- I_{n})^{- 1} a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 11 ⋮ 1 = (- 1)^{n} I_{2} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} n) = (- 1)^{n} (1 - n) (1 - i = 1 \sum n a_{i}^{2}) - (i = 1 \sum n a_{i})^{2} .

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