例 8.76

依赖于

• 例 8.71
• 例 8.75

被以下题目直接调用

• 例 8.77
• 例 9.83

例 8.76

设 $A,B,A-B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：$r(A,B)=r(A)$。

解答

证法 1 根据线性方程组的求解理论，要证明 $r(A,B)=r(A)$，只要证明线性方程组

$$\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)x=0$$

与 $Ax=0$ 同解即可。显然前面线性方程组的解是后面线性方程组的解，下面证明反之也成立。 设 $A{x}_0=0$，其中 $x_0$ 是实列向量，则将等式 $A=(A-B)+B$ 的两边同时左乘 $x_0^{\prime }$， 右乘 $x_0$，可得

$$0=x_0^{\prime }A{x}_0=x_0^{\prime }(A-B)x_0+x_0^{\prime }B{x}_0.$$

因为 $A-B,B$ 都是半正定阵，故 $x_0^{\prime }(A-B)x_0\ge 0,x_0^{\prime }B{x}_0\ge 0$，由上述等式可得 $x_0^{\prime }(A-B)x_0=x_0^{\prime }B{x}_0=0$，再由例 8.71 可得 $B{x}_0=0$，因此 $x=x_0$ 也是线性方程组

$$\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)x=0$$

的解，结论得证。

证法 2 考虑如下对称分块初等变换：

$$\left(\begin{array}{cc}A-B& O\\ O& B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A-B& B\\ O& B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& B\end{array}\right).$$

因为 $A-B,B$ 都是半正定阵，故

$$\left(\begin{array}{cc}A-B& O\\ O& B\end{array}\right)$$

也是半正定阵，从而

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& B\end{array}\right)$$

也是半正定阵，由例 8.75 即得结论。$\square$