例 8.77

依赖于

• 例 8.76

被以下题目直接调用

• 例 9.83

例 8.77

设 $A,B$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：

(1) $r(A+B)=r(A,B)$；

(2) $A+B$ 是正定阵的充要条件是 $r(A,B)=n$。

解答

证明 (1) 由例 8.76 可知，$r(A+B)=r(A+B,B)=r(A,B)$。

(2) 注意到 $A+B$ 是半正定阵，故它是正定阵当且仅当它是非异阵，即 $r(A+B)=n$， 再由 (1) 可知，这也当且仅当 $r(A,B)=n$。$\square$