例 8.56

依赖于

• 例 8.55

被以下题目直接调用

• 例 8.57

例 8.56

设 $A,D$ 是方阵，

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\prime }& D\end{array}\right)$$

是正定实对称矩阵，求证：

$$|M|\le |A||D|,$$

且等号成立当且仅当 $B=O$。

解答

证明 由 $M$ 是正定阵可知，$A,D$ 都是正定阵，从而存在非异实矩阵 $C_1,C_2$，使得

$$C_1^{\prime }A{C}_1=I_r,C_2^{\prime }D{C}_2=I_{n-r}.$$

令 $C=\mathrm{diag}\{C_1,C_2\}$，则

$$C^{\prime }MC=\left(\begin{array}{cc}{C}_1^{\prime }A{C}_1& C_1^{\prime }B{C}_2\\ C_2^{\prime }{B}^{\prime }{C}_1& C_2^{\prime }D{C}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& C_1^{\prime }B{C}_2\\ C_2^{\prime }{B}^{\prime }{C}_1& I_{n-r}\end{array}\right)$$

仍是正定阵。由例 8.55 可得 $|C^{\prime }MC|\le 1$，且等号成立当且仅当 $C_1^{\prime }B{C}_2=O$，即 $B=O$。 于是

$$|M|\le |C{|}^{-2}=|C_1{|}^{-2}|C_2{|}^{-2}=|A||D|,$$

且等号成立当且仅当 $B=O$。$\square$