例 8.44

依赖于

• 例 8.26
• 例 3.82

被以下题目直接调用

• 第 9 章解答题 19

例 8.44

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆实对称矩阵，$S$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵且 $AS=SA$， 求证：$A+S$ 是可逆矩阵。

解答

证法 1 对任一 $n$ 维非零实列向量 $\alpha$，我们有

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^{\prime }(A+S{)}^{\prime }(A+S)\alpha & ={\alpha }^{\prime }(A^{\prime }A+A^{\prime }S+S^{\prime }A+S^{\prime }S)\alpha \\ & ={\alpha }^{\prime }(A^{\prime }A)\alpha +{\alpha }^{\prime }(A^{\prime }S+S^{\prime }A)\alpha +{\alpha }^{\prime }(S^{\prime }S)\alpha .\end{array}$$

由于 $A^{\prime }S+S^{\prime }A=AS-SA=O$，故上式等于 ${\alpha }^{\prime }(A^{\prime }A)\alpha +{\alpha }^{\prime }(S^{\prime }S)\alpha$。由例 8.26 可知，$A^{\prime }A$ 是正定阵， $S^{\prime }S$ 是半正定阵，所以上式总大于零，即 $(A+S{)}^{\prime }(A+S)$ 是正定阵，于是 $|A+S{|}^2>0$，从而 $A+S$ 是可逆矩阵。

证法 2 由于 $A+S=A(I_n+A^{-1}S)$，故只要证明 $I_n+A^{-1}S$ 可逆即可。由 $AS=SA$ 可知 $A^{-1}S=S{A}^{-1}$，于是

$$(A^{-1}S{)}^{\prime }=S^{\prime }(A^{-1}{)}^{\prime }=S^{\prime }(A^{\prime }{)}^{-1}=-S{A}^{-1}=-A^{-1}S,$$

即 $A^{-1}S$ 是实反对称矩阵，最后由例 3.82 即得结论。$\square$