例 8.16

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• 例 8.17
• 第 8 章解答题 1
• 例 10.21

例 8.16

设 $A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵，则 $A$ 必合同于下列形状的分块矩阵：

$$\mathrm{diag}\{S,\cdots ,S,0,\cdots ,0\},\text{\hspace{1em}(8.2)}$$

其中

$$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

特别地，反对称矩阵 $A$ 的秩必为偶数 $2r$，其中 $r$ 是 $S$ 在 $A$ 的上述合同标准型中的个数。

解答

证明 对阶数 $n$ 进行归纳。当 $n=0,1$ 时结论显然成立，假设结论对阶数小于 $n$ 的反对称矩阵成立。 现有 $n$ 阶反对称矩阵 $A$，若 $A=O$，结论已成立，故设 $A\ne O$。由于反对称矩阵的主对角元全为零， 故可设 $A$ 的第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}\ne 0(i<j)$，此时 $A$ 的第 $(j,i)$ 元素为 $-a_{ij}$。 对换 $A$ 的第一行与第 $i$ 行，再对换第一列与第 $i$ 列；对换第二行与第 $j$ 行，再对换第二列与第 $j$ 列； 然后将第一行乘以 $\frac{1}{a_{ij}}$，第一列乘以 $\frac{1}{a_{ij}}$；最后得到 $A$ 合同于下列形状的矩阵：

$$M=\left(\begin{array}{cc}S& B\\ -B^{\prime }& A_{n-2}\end{array}\right),$$

其中 $A_{n-2}$ 是 $n-2$ 阶反对称矩阵。显然 $S$ 是可逆矩阵，对 $M$ 作下列对称分块初等变换： 第一分块行左乘 $B^{\prime }{S}^{-1}$ 加到第二分块行上，再将第一分块列右乘 $(B^{\prime }{S}^{-1}{)}^{\prime }=-S^{-1}B$ 加到第二分块列上，于是 $A$ 合同于下列矩阵：

$$N=\left(\begin{array}{cc}S& O\\ O& A_{n-2}+B^{\prime }{S}^{-1}B\end{array}\right).$$

注意到 $A_{n-2}+B^{\prime }{S}^{-1}B$ 是 $n-2$ 阶反对称矩阵，故由归纳假设它合同于 (8.2) 式形状的矩阵， 因此分块对角矩阵 $N$ 也合同于 (8.2) 式形状的矩阵，结论得证。$\square$