例 10.21

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• 例 8.16

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• 无

例 10.21

设四维辛空间 $(V,g)$ 在一组基 $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ 下的表示矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& -1& 3\\ -2& 0& 4& -2\\ 1& -4& 0& 1\\ -3& 2& -1& 0\end{array}\right),$$

求 $V$ 的一组辛基。

解答

解 由例 8.16 可知，存在可逆矩阵 $C$，使得 $C^{\prime }AC=B=\mathrm{diag}\{S,S\}$，其中

$$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

基之间的过渡矩阵 $C$ 可用对称初等变换法来求（类似于对称矩阵合同于对角矩阵的求法）：对矩阵 $(A;I)$ 施以初等行变换，再对 $A$ 施以对称的初等列变换，直到将 $A$ 变为 $B$，此时 $I$ 就变成 $C^{\prime }$，转置后即得 $C$。

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $(A;I)$ 的第二行，再乘以第二列得到

$$(A;I)⟶\left(\begin{array}{rrrrrrrr}0& 1& -1& 3& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 2& -1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 1& -2& 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ -3& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right);$$

将第二行分别乘以 $1,-3$ 后加到第三行及第四行上，再将第二列分别乘以 $1,-3$ 后加到第三列及第四列上得到

$$⟶\left(\begin{array}{rrrrrrrr}0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 2& -1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& 0& 6& 0& \frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& 1& -6& 0& 0& -\frac{3}{2}& 0& 1\end{array}\right);$$

将第一行分别乘以 $2,-1$ 后加到第三行及第四行上，再将第一列分别乘以 $2,-1$ 后加到第三列及第四列上得到

$$⟶\left(\begin{array}{rrrrrrrr}0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 6& 2& \frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& 0& -6& 0& -1& -\frac{3}{2}& 0& 1\end{array}\right);$$

将第四行乘以 $\frac{1}{6}$，再将第四列乘以 $\frac{1}{6}$ 后得到

$$⟶\left(\begin{array}{rrrrrrrr}0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{12}& \frac{1}{6}& 0\\ 0& 0& -1& 0& -1& -\frac{3}{2}& 0& 1\end{array}\right).$$

因此，要求的一组辛基 $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 为

$$(v_1,v_2,v_3,v_4)=(e_1,e_2,e_3,e_4)C,C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{1}{3}& -1\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{12}& -\frac{3}{2}\\ 0& 0& \frac{1}{6}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

$\square$