例 7.54

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 7.72
• 例 7.77

例 7.54

设 $J=J_n(a)$ 是特征值为 $a\ne 0$ 的 $n$ 阶 Jordan 块，求 $J^m$ 的 Jordan 标准型， 其中 $m$ 为非零整数。

解答

解 先处理 $m\ge 1$ 的情形，采用几何重数的方法来做，行列式因子和极小多项式的方法也可以做， 请读者自行补充完成。显然 $J^m$ 的所有特征值都为 $a^m$。作分解 $J=a{I}_n+N$，其中 $N=J_n(0)$，则有

$$J^m=(a{I}_n+N{)}^m=a^m{I}_n+C_m^1{a}^{m-1}N+\cdots +N^m,$$

于是 $r(J^m-a^m{I}_n)=r(C_m^1{a}^{m-1}N+\cdots +N^m)=n-1$，从而特征值 $a^m$ 的几何重数等于 $1$，因此 $J^m$ 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块，即 $J^m$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(a^m)$。

再处理 $m=-1$ 的情形。显然 $J^{-1}$ 的所有特征值都为 $a^{-1}$。注意到

$$J^{-1}=(a{I}_n+N{)}^{-1}=a^{-1}{I}_n-a^{-2}N+\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}^{-n}{N}^{n-1},$$

故 $r(J^{-1}-a^{-1}{I}_n)=r(-a^{-2}N+\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}^{-n}{N}^{n-1})=n-1$， 从而特征值 $a^{-1}$ 的几何重数等于 $1$，因此 $J^{-1}$ 的 Jordan 标准型中只有一个 Jordan 块，即 $J^{-1}$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(a^{-1})$。

最后处理 $m\le -1$ 的情形。注意到 $J^m=(J^{-1}{)}^{-m}$，故由前面两个结论即得 $J^m$ 的 Jordan 标准型为 $J_n((a^{-1}{)}^{-m})=J_n(a^m)$。$\square$