例 7.72

依赖于

• 例 7.54

被以下题目直接调用

• 第 7 章解答题 12

例 7.72

设 $A$ 为 $n$ 阶非异复矩阵，证明：对任一正整数 $m$，存在 $n$ 阶复矩阵 $B$，使得 $A=B^m$。

解答

证明 设 $P$ 为非异阵，使得

$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),J_{r_2}({\lambda }_2),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$$

为 $A$ 的 Jordan 标准型。由于 $A$ 非异，故 $A$ 的所有特征值都非零。对 $A$ 的任一 Jordan 块 $J_{r_i}({\lambda }_i)$，取定 ${\lambda }_i$ 的某个 $m$ 次方根 ${\mu }_i$， 即 ${\mu }_i^m={\lambda }_i$，则由例 7.54 可知，$J_{r_i}({\mu }_i{)}^m$ 相似于 $J_{r_i}({\lambda }_i)$，即存在非异阵 $Q_i$，使得

$$J_{r_i}({\lambda }_i)=Q_i^{-1}{J}_{r_i}({\mu }_i{)}^m{Q}_i=(Q_i^{-1}{J}_{r_i}({\mu }_i)Q_i{)}^m,$$

即结论对 Jordan 块成立。令

$$C=\mathrm{diag}\{Q_1^{-1}{J}_{r_1}({\mu }_1)Q_1,Q_2^{-1}{J}_{r_2}({\mu }_2)Q_2,\cdots ,Q_k^{-1}{J}_{r_k}({\mu }_k)Q_k\},$$

则 $J=C^m$，即结论对 Jordan 标准型也成立。最后，

$$A=PJ{P}^{-1}=P{C}^m{P}^{-1}=(PC{P}^{-1}{)}^m.$$

令 $B=PC{P}^{-1}$，则有 $A=B^m$，即结论对一般的矩阵也成立。$\square$