例 7.77

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• 例 7.54

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• 无

例 7.77

设 $a,b$ 都是实数，其中 $b\ne 0$，证明：对任意的正整数 $m$，存在四阶实方阵 $A$，使得

$$A^m=B=\left(\begin{array}{cccc}a& b& 2& 0\\ -b& a& 2& 0\\ 0& 0& a& b\\ 0& 0& -b& a\end{array}\right).$$

解答

证明 显然，$B$ 的特征多项式

$$f(\lambda )=((\lambda -a{)}^2+b^2{)}^2.$$

我们可用 3 种方法求出 $B$ 的 Jordan 标准型（参考 \S7.6）。第一种方法是计算行列式因子：

$$\lambda I_4-B=\left(\begin{array}{cccc}\lambda -a& -b& -2& 0\\ b& \lambda -a& -2& 0\\ 0& 0& \lambda -a& -b\\ 0& 0& b& \lambda -a\end{array}\right),$$

经计算可知

$$\begin{array}{rl}(\lambda I_4-B)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right)& =-b((\lambda -a{)}^2+b^2),\\ (\lambda I_4-B)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\end{array}\right)& =-2b(\lambda -a+b).\end{array}$$

显然这两个三阶子式互素，故三阶行列式因子 $D_3(\lambda )=1$，于是 $B$ 的行列式因子组和 不变因子组均为 $1,1,1,((\lambda -a{)}^2+b^2{)}^2$，从而初等因子组为 $(\lambda -a-bi{)}^2,(\lambda -a+bi{)}^2$，因此 $B$ 的 Jordan 标准型

$$J=\mathrm{diag}\{J_2(a+bi),J_2(a-bi)\}.$$

第二种方法是计算极小多项式：由于 $B$ 是实方阵，故其极小多项式 $m(\lambda )$ 是实系数多项式， 又 $m(\lambda )$ 整除 $f(\lambda )$，从而只可能是 $m(\lambda )=(\lambda -a{)}^2+b^2$ 或 $m(\lambda )=((\lambda -a{)}^2+b^2{)}^2$。 通过简单的计算可知 $B$ 不适合多项式 $(\lambda -a{)}^2+b^2$，于是 $m(\lambda )=f(\lambda )=((\lambda -a{)}^2+b^2{)}^2$，剩余的讨论同第一种方法。 第三种方法是计算特征值的几何重数：$B$ 的全体特征值为 $a+bi$（2 重），$a-bi$（2 重）， 通过简单的计算可知

$$r(B-(a+bi)I_4)=3,r(B-(a-bi)I_4)=3,$$

于是 $a\pm bi$ 的几何重数都等于 1，从而分别只有一个二阶 Jordan 块，因此 $B$ 的 Jordan 标准型 $J=\mathrm{diag}\{J_2(a+bi),J_2(a-bi)\}$。

取 $a+bi$ 的 $m$ 次方根 $c+di(c,d\in \mathbb{R})$，即满足 $(c+di{)}^m=a+bi$（取定一个即可）。 构造实方阵（取法不唯一）：

$$\begin{array}{c}C=\left(\begin{array}{cccc}c& d& 2& 0\\ -d& c& 2& 0\\ 0& 0& c& d\\ 0& 0& -d& c\end{array}\right),\text{或}C=\left(\begin{array}{cccc}c& d& 1& 0\\ -d& c& 0& 1\\ 0& 0& c& d\\ 0& 0& -d& c\end{array}\right),\\ \text{或}C=\left(\begin{array}{cccc}c& d& 0& 0\\ -d& c& 1& 0\\ 0& 0& c& d\\ 0& 0& -d& c\end{array}\right).\end{array}$$

注意到 $d\ne 0$，故由开始处完全类似的讨论可知，$C$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{J_2(c+di),J_2(c-di)\}$。由例 7.54 可知， $J_2(c\pm di{)}^m$ 的 Jordan 标准型为 $J_2(a\pm bi)$，从而 $C^m$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{J_2(a+bi),J_2(a-bi)\}$，于是 $B$ 与 $C^m$ 有相同的 Jordan 标准型， 故它们在复数域上相似。注意到 $B$ 与 $C^m$ 都是实矩阵，故由矩阵相似在基域扩张下的不变性 （参考 [1] 的推论 7.3.4）可知，它们在实数域上也相似，即存在非异阵 $P\in M_4(\mathbb{R})$， 使得

$$B=P^{-1}{C}^{m}P=(P^{-1}CP{)}^m.$$

令 $A=P^{-1}CP$，则 $A$ 为实方阵，满足 $A^m=B$。$\square$