例 7.34

依赖于

• 例 6.66

被以下题目直接调用

• 例 7.43

例 7.34

求适合下列条件的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 Jordan 标准型：

(1) $A^2=A$； (2) $A^k=I_n$。

解答

解 (1) 矩阵 $A$ 适合 $g(x)=x^2-x$ 且 $g(x)$ 无重根，故由例 6.66 可知 $A$ 可对角化， 并且 $A$ 的特征值也适合 $g(x)$，故只能是 $0,1$。因此，$A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,0,\cdots ,0\}$，其中有 $r(A)$ 个 $1$。

(2) 矩阵 $A$ 适合 $g(x)=x^k-1$ 且 $g(x)$ 无重根，故由例 6.66 可知 $A$ 可对角化， 并且 $A$ 的特征值也适合 $g(x)$，故只能是 $1$ 的 $k$ 次方根。因此，$A$ 的 Jordan 标准型为 $\mathrm{diag}\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\}$， 其中 ${\omega }_i^k=1(1\le i\le n)$。$\square$