例 7.43

依赖于

• 例 7.34

被以下题目直接调用

• 无

例 7.43

若 $n(n\ge 2)$ 阶矩阵 $B$ 相似于

$$R=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),I_{n-2}\right\}$$

， 则称 $B$ 为反射矩阵。证明：任一对合矩阵 $A$（即 $A^2=I_n$）均可分解为至多 $n$ 个两两乘法可交换的反射矩阵的乘积。

解答

证明 由例 7.34 可知，对合矩阵 $A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{-I_r,I_{n-r}\}$，其中 $0\le r\le n$。当 $r=0$ 时，$A=I_n=R^2$，结论成立。当 $r\ge 1$ 时，设 $B_i=P\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,-1,1,\cdots ,1\}{P}^{-1}$，其中 $-1$ 在主对角线上的第 $i$ 个位置，则 $B_i(1\le i\le r)$ 两两乘法可交换，并且 $A=B_1{B}_2\cdots B_r$。由于

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

的特征值是 $-1,1$，故其相似于 $\mathrm{diag}\{-1,1\}$，因此矩阵 $B_i$ 是反射矩阵当且仅当 $B$ 相似于 $\mathrm{diag}\{-1,1,\cdots ,1\}$。因为对角矩阵的两个主对角元素对换是一个相似变换， 所以上述 $B_i$ 都是反射矩阵，于是 $A$ 可以分解为 $r$ 个两两乘法可交换的反射矩阵的乘积。$\square$