例 7.33

依赖于

• 例 7.31
• 例 6.41

被以下题目直接调用

• 例 7.97

例 7.33

设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵，证明：$A$ 可分解为

$$A=B+C,$$

其中 $B$ 是可对角化矩阵，$C$ 是幂零矩阵且 $BC=CB$，并且这种分解是唯一的。

解答

证明 设 $A$ 的 Jordan 标准型为

$$P^{-1}AP=J=\left(\begin{array}{ccc}{J}_1& & \\ & \ddots & \\ & & J_k\end{array}\right),$$

其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $A$ 的全体不同特征值，$J_i$ 是属于特征值 ${\lambda }_i$ 的所有 Jordan 块拼成的分块对角矩阵。注意到 $J_i={\lambda }_{i}I+N_i$，其中 $N_i$ 是幂零矩阵，故 $J$ 可以分解为一个对角矩阵 $M=\mathrm{diag}\{{\lambda }_{1}I,\cdots ,{\lambda }_{k}I\}$ 与一个幂零矩阵 $N=\mathrm{diag}\{N_1,\cdots ,N_k\}$ 之和且它们乘法可交换。于是 $A$ 可以分解为 $A=B+C$，其中 $B=PM{P}^{-1}$ 相似于对角矩阵， $C=PN{P}^{-1}$ 是幂零矩阵且 $BC=CB$。这时显然有 $AB=BA,AC=CA$。

为了证明唯一性，我们首先证明存在多项式 $f(\lambda )$，使得 $B=f(A)$。由于 $N_i$ 是幂零矩阵，故 $J_i$ 适合多项式 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^n$，显然 $(\lambda -{\lambda }_1{)}^n,\cdots ,(\lambda -{\lambda }_k{)}^n$ 两两互素。设 $f_i(\lambda )={\lambda }_i$ 为常数多项式，则 $f_i(J_i)={\lambda }_{i}I$。由例 7.31 可知，存在多项式 $f(\lambda )$，使得 $M=f(J)$，于是 $B=Pf(J)P^{-1}=f(PJ{P}^{-1})=f(A)$。注意到 $C=A-B$，故 $C$ 也是 $A$ 的多项式。

设另有满足条件的分解 $A=B_1+C_1$ 且 $B_1{C}_1=C_1{B}_1$，则 $A{B}_1=(B_1+C_1)B_1=B_1(B_1+C_1)=B_{1}A$，即 $A$ 和 $B_1$ 乘法可交换，同理可证 $A$ 和 $C_1$ 乘法可交换。因为 $B,C$ 都是 $A$ 的多项式，所以 $B$ 和 $B_1$ 乘法可交换，$C$ 和 $C_1$ 乘法可交换。由例 6.41 可知，$B$ 和 $B_1$ 可同时对角化， 即存在可逆矩阵 $Q$，使得 $Q^{-1}BQ$ 和 $Q^{-1}{B}_{1}Q$ 都是对角矩阵，因此 $B-B_1$ 相似于对角矩阵。另一方面，从 $C$ 和 $C_1$ 的乘法可交换性和幂零性容易推出 $C_1-C$ 也是幂零矩阵。事实上，若 $C^s=O,C_1^t=O$，则 $(C_1-C{)}^{s+t}=O$。注意到 $B-B_1=C_1-C$，故 $B-B_1=O,C_1-C=O$，即 $B_1=B,C_1=C$。$\square$