例 7.31

依赖于

• 例 5.12

被以下题目直接调用

• 例 7.32
• 例 7.33
• 例 9.106

例 7.31

设有 $n$ 阶分块对角矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_k\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}{B}_1& & \\ & \ddots & \\ & & B_k\end{array}\right),$$

其中 $A_i$ 和 $B_i$ 是同阶方阵。设 $A_i$ 适合非零多项式 $g_i(x)$，且 $g_i(x)(1\le i\le k)$ 两两互素。求证：若对每个 $i$，存在多项式 $f_i(x)$， 使得 $B_i=f_i(A_i)$，则必存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $B=f(A)$。

解答

证明 因为 $g_i(x)$ 两两互素，故由中国剩余定理（例 5.12）可知，存在多项式 $h(x)$ 满足 $h(x)=g_i(x)q_i(x)+f_i(x)$。将 $x=A_i$ 代入上式，可得 $h(A_i)=f_i(A_i)=B_i$，从而

$$h(A)=\mathrm{diag}\{h(A_1),\cdots ,h(A_k)\}=\mathrm{diag}\{B_1,\cdots ,B_k\}=B.$$

设 $A$ 的特征多项式为 $g(x)$，作带余除法 $h(x)=g(x)q(x)+f(x)$，其中 $\mathrm{deg}f(x)<n$。将 $x=A$ 代入上式，则由 Cayley-Hamilton 定理可得 $B=h(A)=f(A)$。$\square$