例 7.32

依赖于

• 例 7.29
• 例 7.31

被以下题目直接调用

• 无

例 7.32

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩等于 $n-1$，$B$ 是同阶非零矩阵且 $AB=BA=O$， 求证：存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$，使得 $B=f(A)$。

解答

证法 1 由于题目的条件和结论在同时相似变换 $A\mapsto P^{-1}AP,B\mapsto P^{-1}BP$ 下保持不变，故不妨从一开始就假设 $A$ 为 Jordan 标准型。因为 $r(A)=n-1$，故 $A$ 关于特征值 $0$ 的几何重数为 $1$，从而属于特征值 $0$ 的 Jordan 块只有一个，记为 $J_0$；将属于其他非零特征值的 Jordan 块合在一起，记为 $J_1$，于是 $A=\mathrm{diag}\{J_0,J_1\}$。设

$$B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$$

为相应的分块，则由 $AB=BA=O$ 可得 $B_{12},B_{21},B_{22}$ 都是零矩阵，于是 $B=\mathrm{diag}\{B_{11},O\}$ 且 $J_0{B}_{11}=B_{11}{J}_0$。由于 $J_0$ 是幂零矩阵而 $J_1$ 是可逆矩阵，故 $J_0$ 的特征多项式 $g_0(x)$ 和 $J_1$ 的特征多项式 $g_1(x)$ 互素；又由例 7.29 可知，存在多项式 $f_0(x)$，使得 $B_{11}=f_0(J_0)$；再取 $f_1(x)=0$，则 $O=f_1(J_1)$；最后由例 7.31 即得结论。

证法 2 也可以用线性方程组的求解理论和极小多项式来做。由于 $r(A)=n-1$，故线性方程组 $Ax=0$ 解空间的维数为 $1$，再由 $AB=O$ 可知，$B$ 的列向量都是解空间的向量， 从而它们成比例，于是 $r(B)=1$。设 $B=\alpha {\beta }^{\prime }$，其中 $\alpha ,\beta$ 为 $n$ 维非零列向量，由 $AB=O$ 可推出 $A\alpha =0$，即 $\alpha$ 是线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系；同理，由 $BA=O$ 可推出 $\beta$ 是 $A^{\prime }x=0$ 的基础解系。设 $m(x)$ 是 $A$ 的极小多项式，由于 $A$ 不是可逆矩阵，故 $m(x)$ 的常数项等于零， 即 $m(x)=xg(x)$，于是 $Ag(A)=O$ 但 $g(A)\ne O$。由类似于矩阵 $B$ 的讨论可得， $g(A)$ 也可以写为 $g(A)=\eta {\xi }^{\prime }$，其中 $\eta$ 是 $Ax=0$ 的解，故 $\eta =k\alpha$。同理可得 $\xi =t\beta$，于是 $g(A)=ktB$，从而 $B=\frac{1}{kt}g(A)$ 可表示为 $A$ 的次数不超过 $n-1$ 的多项式。$\square$