第 6 章解答题 13

依赖于

• 例 6.86

被以下题目直接调用

• 例 6.103

第 6 章解答题 13

设 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 为 $n$ 阶矩阵，$g(x)\in F[x]$，使得

$$g(A_1),g(A_2),\cdots ,g(A_m)$$

都是可逆矩阵。证明：存在 $h(x)\in F[x]$，使得

$$g(A_i{)}^{-1}=h(A_i)(1\le i\le m).$$

解答

设 $A=\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\}$，则

$$g(A)=\mathrm{diag}\{g(A_1),g(A_2),\cdots ,g(A_m)\}$$

也是可逆矩阵。 由例 6.86 可知，存在多项式 $f(x)\in F[x]$，使得 $g(A{)}^{-1}=f(g(A))$。令 $h(x)=f(g(x))\in F[x]$，则由上式可得 $g(A_i{)}^{-1}=h(A_i)(1\le i\le m)$。