第 6 章解答题 11

依赖于

• 例 5.77
• 例 6.66

被以下题目直接调用

• 无

第 6 章解答题 11

设 $A$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 阶矩阵，$f(x),g(x)$ 为 $F$ 上互素的多项式， 且它们在复数域中均无重根。证明：若 $r(f(A))+r(g(A))=n$，则 $A$ 可对角化。

解答

由例 5.77 可知 $f(A)g(A)=O$，即 $A$ 适合多项式 $f(x)g(x)$。 注意到 $f(x),g(x)$ 在复数域中均无重根且 $(f(x),g(x))=1$，故 $f(x)g(x)$ 在复数域中也无重根， 再由例 6.66 可知 $A$ 可对角化。